Под динамическими системами ниже понимаются системы, развивающиеся во времени и описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Инженер-практик обычно обладает достаточной специальной подготовкой, чтобы на этапе проектирования составить уравнения движения конкретной динамической системы. Эти уравнения вначале, как правило, избыточно громоздки и не поддаются аналитическому иди численному анализу. По мере накопления опыта работы с данной системой, появления экспериментального материала и т. п. исследователь переходит к более простым моделям динамической системы, которые описываются более простыми уравнениями. Этот процесс требует времени, натурного эксперимента и зачастую незаурядной интуиции исследователя. Ярким примером подобного «инженерного» упрощения могут служить прецессионные уравнения движения гироскопических систем. Формальные математические доказательства законности перехода к этим уравнениям от строгих уравнений гироскопии на несколько десятков лет запоздали от времени их плодотворного внедрения в практику расчета гироскопических систем.

Между тем имеется реальная возможность сократить и формализовать процесс упрощения уравнений движения динамических систем. Эта возможность связана с применением методов малого параметра. В ходе применения методов малого параметра строится приближенное решение исходной системы, т. е. упрощенные уравнения, которым удовлетворяют приближенные решения. При этом над исходной системой проводится, так сказать, серия математических экспериментов: проверяются условия, которым должны удовлетворять слагаемые уравнений, проводится анализ вспомогательных уравнений и т. п. Важно подчеркнуть, что применение строгих математических методов дает возможность оценить разницу решений исходных и упрощенных уравнений, т. е. оценить погрешность приближения.

Работа ставит своей целью дать сравнительный обзор ряда наиболее употребительных методов малого параметра. Предполагаемый читатель — активно работающий инженер, по роду деятельности имеющий дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями, изрядно забывший втузовский курс высшей математики, знакомый с приближенными методами понаслышке. По опыту могу заключить, что круг таких читателей достаточно широк. Исходя из этого, изложение материала максимально упрощено, математические доказательства, как правило, опускаются, изложение практически построено на примерах. Одна из целей книги состоит в том, чтобы заинтересовать читателя и побудить его обратиться к изучению литературы, указанной по разделам.

Данная работа непосредственно примыкает к работе [1], где излагаются сведения из общей теории дифференциальных уравнений, необходимые для понимания материала; излагаются основы теории подобия и размерности, при помощи которой проводится нормализация уравнений и введение в них малого параметра. Приведены две основные для дальнейшего теоремы: теорема Пуанкаре о приближенном решении дифференциальных уравнений с малым параметром «справа», в правых частях уравнений, и теорема А. Н. Тихонова для дифференциальных уравнений с малым параметром «слева», т. е. при производных. Предполагается, что читатель знаком с [1].

Ниже излагаются методы «разделения» движений, позволяющие составлять приближенные уравнения для «быстрых» и «медленных» составляющих движения по отдельности.